中学受験問題を数学で解く(1)

相似比に着目

あるニュースサイトを見ていると、この問題の動画解説サイトへの誘導記事が目に入りました。
平行線に着目し、補助線を引いたり、いくつもの三角形の高さに着目する解説だったと思います。

中学数学で考えると、とても簡単な問題ですので、取り上げてみます。

Step1
長方形は対辺が平行ですので、 $\angle\mathrm{EAB}$ と $\angle\mathrm{EDC}$ 、 $\angle\mathrm{EBA}$ と $\angle\mathrm{ECD}$ は、錯角により、同じ角度だとわかります。 2角が等しいため、 $\triangle\mathrm{EAB}$ と $\triangle\mathrm{EDC}$ は相似です。
Step2
$\displaystyle \triangle\mathrm{EAB}$ と $\displaystyle \triangle\mathrm{EDC}$ の辺 $\displaystyle AB$ と $\displaystyle DC$ の長さが $\displaystyle 1:2$ であることから、 $\displaystyle \triangle\mathrm{EAB}$ と $\displaystyle \triangle\mathrm{EDC}$ は $\displaystyle 1:2$ の相似比であり、 $\displaystyl　Ea$ と $\displaystyl　Eb$ の長さも $\displaystyle 1:2$ となります。辺 $BD$ の長さが $4cm$ であることから、面積は以下のように求められます。 $(1cm \times4cm \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2})+(2cm \times 4cm \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2})= \frac{10}{3}cm^2$